주파수 영역

![The [Fourier transform converts the function's time-domain representation, shown in red, to the function's frequency-domain representation, shown in blue. The component frequencies, spread across the frequency spectrum, are represented as peaks in the frequency domain.]]

수학, 물리학, 전자공학, 제어 시스템 공학, 통계학에서 주파수 영역은 시계열에서처럼 시간이 아닌 주파수(및 경우에 따라 위상)에 대해 수학적 함수나 신호를 분석하는 것을 말한다.[^1] 시간 영역 그래프가 신호가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 보여주는 반면, 주파수 영역 그래프는 신호가 일정 주파수 범위에 걸쳐 서로 다른 주파수 대역 내에 어떻게 분포되어 있는지를 보여준다. 복소수 값의 주파수 영역 표현은 신호의 주파수 성분에서 일련의 정현파(또는 다른 기저 파형)의 크기와 위상 모두로 구성된다. 흔히 크기 부분(실수 값의 주파수 영역)을 신호의 주파수 응답이라고 지칭하지만, 신호를 고유하게 정의하려면 위상 부분이 필요하다.

주어진 함수나 신호는 변환이라 불리는 한 쌍의 수학적 연산자를 통해 시간 영역과 주파수 영역 사이에서 변환될 수 있다. 그 예로 푸리에 변환이 있으며, 이는 시간 함수를 서로 다른 주파수의 사인파들의 복소수 값 합 또는 적분으로 변환하는데, 각 사인파는 진폭과 위상을 가지며 하나의 주파수 성분을 나타낸다. 주파수 성분의 "스펙트럼"이 신호의 주파수 영역 표현이다. 역푸리에 변환은 주파수 영역 함수를 다시 시간 영역 함수로 변환한다. 스펙트럼 분석기는 전자 신호를 주파수 영역에서 시각화하는 데 흔히 사용되는 도구이다.

주파수 영역 표현은 정적 함수 또는 동적 함수(신호나 시스템)의 특정 시간 구간을 기술할 수 있다. 동적 함수의 주파수 변환은 해당 함수의 유한한 시간 구간에 대해 수행되며, 그 시간 구간 밖에서는 함수가 무한히 반복된다고 가정한다. 동적 함수를 위한 일부 특수 신호 처리 기법은 시간-주파수 결합 영역을 생성하는 변환을 사용하며, 여기서 순시 주파수 응답이 시간 영역과 주파수 영역 사이의 핵심 연결고리가 된다.

장점

주파수 영역 표현을 사용하는 주된 이유 중 하나는 수학적 분석을 단순화하기 위해서이다. 선형 미분 방정식에 의해 지배되는 수학적 시스템—실제 세계에서 수많은 응용 분야를 가진 매우 중요한 부류의 시스템—의 경우, 시스템의 기술을 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하면 미분 방정식이 대수 방정식으로 변환되어 풀이가 훨씬 쉬워진다.

또한 주파수의 관점에서 시스템을 바라보면 시스템의 정성적 거동에 대한 직관적 이해를 얻을 수 있는 경우가 많으며, 이를 기술하기 위한 의미 있는 과학적 용어 체계가 발전해 왔다. 대역폭, 주파수 응답, 이득, 위상 편이, 공진 주파수, 시정수, 공진 폭, 감쇠 계수, Q 인자, 고조파, 스펙트럼, 전력 스펙트럼 밀도, 고유값, 극점, 영점 등의 용어를 사용하여 시간에 따라 변하는 입력에 대한 물리적 시스템의 거동을 특성화한다.

주파수 영역 분석이 시간 영역보다 더 나은 이해를 제공하는 분야의 예로 음악이 있다. 악기의 작동 원리와 악곡을 기록하고 논의하는 데 사용되는 악보는 복잡한 소리를 개별 구성 주파수(음)로 분해하는 것에 암묵적으로 기반하고 있다.

크기와 위상

라플라스 변환, Z 변환, 또는 푸리에 변환을 사용할 때, 신호는 주파수의 복소 함수로 기술된다: 임의의 주어진 주파수에서의 신호 성분은 복소수로 주어진다. 그 수의 절댓값은 해당 성분의 진폭이며, 편각은 파동의 상대적 위상이다. 예를 들어, 푸리에 변환을 사용하면 사람의 음성과 같은 음파를 서로 다른 주파수의 구성 음조로 분해할 수 있으며, 각각은 서로 다른 진폭과 위상을 가진 사인파로 표현된다. 시스템의 응답도 주파수의 함수로서 복소 함수로 기술할 수 있다. 많은 응용 분야에서 위상 정보는 중요하지 않다. 위상 정보를 버림으로써 주파수 영역 표현의 정보를 단순화하여 주파수 스펙트럼 또는 스펙트럼 밀도를 생성할 수 있다. 스펙트럼 분석기는 스펙트럼을 표시하는 장치이며, 시간 영역 신호는 오실로스코프에서 볼 수 있다.

유형

"그" 주파수 영역이라고 단수형으로 말하지만, 시간 영역 함수를 분석하는 데 사용되며 "주파수 영역" 방법이라고 불리는 여러 가지 수학적 변환이 존재한다. 다음은 가장 일반적인 변환과 그것이 사용되는 분야이다:

• 푸리에 급수 – 주기 신호, 진동 시스템.
• 푸리에 변환 – 비주기 신호, 과도 현상.
• 라플라스 변환 – 전자 회로 및 제어 시스템.
• Z 변환 – 이산 시간 신호, 디지털 신호 처리.
• 웨이블릿 변환 — 이미지 분석, 데이터 압축. 더 일반적으로, 임의의 변환에 대해 '' 을 말할 수 있다. 위의 변환들은 어떤 형태의 주파수를 포착하는 것으로 해석할 수 있으며, 따라서 변환 영역을 주파수 영역이라고 부른다.

이산 주파수 영역

이산 주파수 영역은 연속적이지 않고 이산적인 주파수 영역이다. 예를 들어, 이산 푸리에 변환은 이산 시간 영역을 가진 함수를 이산 주파수 영역을 가진 함수로 변환한다. 반면에 이산 시간 푸리에 변환은 이산 시간을 가진 함수(이산 시간 신호)를 연속 주파수 영역을 가진 함수로 변환한다.[^2][^3]

주기 신호는 기본 주파수와 그 고조파에서만 에너지를 가지므로 이산 주파수 영역을 사용하여 분석할 수 있다. 이산 시간 신호는 주기적인 주파수 스펙트럼을 생성한다. 이 두 조건이 모두 발생하는 상황에서, 이산적이고 주기적인 신호는 역시 이산적이고 주기적인 주파수 스펙트럼을 만들어 낸다; 이것이 이산 푸리에 변환의 일반적인 맥락이다.

용어의 역사

"주파수 영역"과 "시간 영역"이라는 용어의 사용은 1950년대와 1960년대 초반의 통신 공학에서 시작되었으며, "주파수 영역"은 1953년에 처음 등장하였다.[^4] 자세한 내용은 시간 영역: 용어의 기원을 참조하라.[^5]

같이 보기

• 대역폭
• 블랙먼-튜키 변환
• 균등 간격 데이터에서 주기성을 계산하기 위한 푸리에 분석
• 비균등 간격 데이터에서 주기성을 계산하기 위한 최소제곱 스펙트럼 분석
• 역격자 공간
• 단시간 푸리에 변환
• 시간-주파수 표현
• 시간-주파수 분석
• 웨이블릿
• 웨이블릿 변환 – 디지털 이미지 처리, 신호 압축

Goldshleger, N., Shamir, O., Basson, U., Zaady, E. (2019). 하위 토양층의 오염을 연구하기 위한 도구로서의 주파수 영역 전자기 방법(FDEM). Geoscience 9 (9), 382.

추가 읽을거리

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참고 문헌

[^1]: Broughton, S. A.. 이산 푸리에 해석과 웨이블릿: 신호 및 영상 처리에의 응용. [[John Wiley & Sons

[^2]: cite book title = DSP 입문서 author = C. Britton Rorabaugh publisher = McGraw-Hill Professional year = 1998 isbn = 978-0-07-054004-0 page = 153 url = https://books.google.com/book

[^3]: cite book title = 정량적 뇌전도 분석 방법 및 임상 응용 edition = author = Shanbao Tong and Nitish Vyomesh Thakor publisher = Artech House year = 2009 isbn = 9

[^4]: citation first = L. A. last = Zadeh title = 필터링 이론 journal = Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics volume = 1 year = 1953 pages = 35–51 doi=10.1137

[^5]: [http://jeff560.tripod.com/t.html 수학 용어의 최초 사용 기록 (T)], Jeff Miller, 2009년 3월 25일