확률 논리

확률 논리(또한 확률 논리학 및 확률적 추론)는 불확실한 상황을 다루기 위해 확률과 논리를 사용하는 것을 포함한다. 확률 논리는 전통적인 논리 진리표를 확률적 표현으로 확장한다. 확률 논리의 어려움은 확률적 요소와 논리적 요소의 계산 복잡성이 곱해지는 경향이 있다는 것이다. 다른 어려움으로는 뎀프스터-셰이퍼 이론에서의 믿음 융합의 경우처럼 직관에 반하는 결과가 나올 가능성이 포함된다. 주관 논리에서 정의된 것과 같이, 출처 신뢰도와 확률에 대한 인식론적 불확실성은 추가로 고려해야 할 요소이다. 광범위한 맥락과 문제를 다루어야 할 필요성은 많은 다양한 제안으로 이어졌다.

논리적 배경

확률 논리에 대한 수많은 제안이 있다. 매우 대략적으로, 이들은 두 가지 다른 부류로 분류할 수 있다: 마르코프 논리 네트워크와 같이 논리적 함의에 대한 확률적 확장을 시도하는 논리와, 불확실성과 증거 부족의 문제를 다루려는 논리(증거 논리)이다.

확률의 개념이 다양한 의미를 가질 수 있다는 것은, 계몽주의 시대에 확률이 수학화되었음에도 불구하고, 수학적 확률 이론이 오늘날까지도 형사 법정에서 범죄 혐의자의 유죄 "확률"을 평가할 때 전혀 사용되지 않는다는 점을 통해 이해할 수 있다.[^1]

보다 정확히 말하면, 증거 논리에서는 진술의 객관적 진실과 그 진술의 진실에 대한 우리의 판단을 구별할 필요가 있으며, 이는 다시 그 진실에 대한 우리의 확신과 구별되어야 한다: 따라서 용의자의 실제 유죄 여부는 반드시 판사의 유죄 판결과 같지 않으며, 이는 다시 범죄 실행에 대해 수치적 확률을 부여하고 그것이 유죄의 수치적 임계값을 초과하는지 판단하는 것과 같지 않다. 단일 용의자에 대한 판결은 동전 던지기가 어느 정도의 불확실성을 가지고 앞면 또는 뒷면으로 예측될 수 있는 것처럼, 어느 정도의 불확실성을 가지고 유죄 또는 무죄일 수 있다. 많은 수의 용의자가 주어지면, "앞면"이 나올 확률이 2분의 1인 것처럼 일정 비율이 유죄일 수 있다. 그러나 이러한 평균의 법칙을 단일 범죄자(또는 단일 동전 던지기)에 적용하는 것은 잘못된 것이다: 단일 동전 던지기를 "약간은 앞면이고 약간은 뒷면"이라고 예측할 수 없는 것처럼, 범죄자가 "약간 유죄"인 것은 아니다: 우리는 단지 그것이 어느 쪽인지 불확실할 뿐이다. 불확실성을 수치적 확률로 표현하는 것은 물리량의 과학적 측정을 할 때는 허용될 수 있지만, "상식적" 추론과 논리의 맥락에서 우리가 인식하는 불확실성의 수학적 모형에 불과하다. 법정 추론에서와 마찬가지로, 불확실한 추론을 사용하는 목적은 일종의 확률적 함의를 수행하는 것이 아니라, 명제에 대한 확신을 강화하기 위해 증거를 수집하는 것이다.

역사적 맥락

역사적으로 확률적 추론을 정량화하려는 시도는 고대까지 거슬러 올라간다. 특히 12세기부터 스콜라 학자들의 연구와 함께 강한 관심이 시작되었는데, 반증거(half-proof)의 발명(두 개의 반증거가 유죄를 증명하기에 충분하다는 개념), 도덕적 확실성(행동하기에 충분한 확실성이지만 절대적 확실성에는 미치지 못하는 것)의 해명, 가톨릭 개연론(probabilism)의 발전(확립된 교리 규칙이나 전문가의 의견이 덜 개연적일지라도 이를 따르는 것이 항상 안전하다는 사상), 결의론(casuistry)의 사례 기반 추론, 그리고 이완주의(Laxism)의 스캔들(거의 모든 명제를 지지하는 전문가 의견을 찾을 수 있었기 때문에 개연론이 사실상 어떤 주장이든 뒷받침하는 데 사용된 현상) 등이 포함된다.[^2] 제안된 의미론적 일반화는 확률적 논리적 함의를 유도하며, 모든 문장의 확률이 0 또는 1일 때 일반적인 논리적 함의로 환원된다. 이 일반화는 유한한 문장 집합의 일관성을 확립할 수 있는 모든 논리 체계에 적용된다.

Gaifman[^11]과 Snir[^12]는 귀납적 추론에 적합한 고전 확률 이론과 1차 논리의 전역적으로 일관되고 경험적으로 만족스러운 통합을 개발했다. 이들의 이론은 지식 기반과 일관되게(사실과 공리에 대해 확률 1), 표준(콜모고로프) 확률 공리 및 논리적 연역과 일관되게 문장에 확률 또는 믿음의 정도를 부여하며, (베이즈적) 귀납적 추론과 극한에서의 학습을 허용한다. 가장 중요한 점은, 대부분의 대안적 제안과 달리 보편 양화된 가설의 확인을 허용한다는 것이다. 이 이론은 고차 논리로도 확장되었다.[^13] 두 해법 모두 순수하게 이론적이지만 실용적인 근사를 파생시켰다.[^14]
주관 논리[^3] 이론의 핵심 개념은 주어진 논리 문장에 포함된 일부 명제 변수에 대한 의견이다. 이항 의견은 단일 명제에 적용되며, 명제의 진리에 대한 확률적 및 인식론적 불확실성을 표현하기 위해 단일 확률 값을 3차원으로 확장한 것으로 표현된다. 논증 의견의 구조에 기반한 파생 의견의 계산을 위해, 이 이론은 곱셈(AND), 쌍대곱셈(OR), 나눗셈(UN-AND) 및 쌍대나눗셈(UN-OR)과 같은 다양한 논리 연결사에 대한 각각의 연산자,[^4] 조건부 연역(MP) 및 귀추(MT),[^5] 그리고 베이즈 정리를 제안한다.[^6]
퍼지 논리가 제안한 근사 추론 형식주의는 모델이 확률 분포이고 이론이 하한 포락선인 논리를 얻는 데 사용될 수 있다.[^7] 이러한 논리에서 이용 가능한 정보의 일관성 문제는 부분적 확률 할당의 정합성 문제, 따라서 더치 북(Dutch book) 현상과 엄밀하게 관련된다.
마르코프 논리 네트워크는 최대 엔트로피 원리—마르코프 체인이 유한 상태 기계 전이에 확률을 할당하는 방식과 유사하게, 엔트로피를 최대화하는 방식으로 확률을 할당해야 한다는 사상—에 기반한 불확실 추론의 한 형태를 구현한다.
Ben Goertzel의 확률적 논리 네트워크(PLN)와 같은 시스템은 원자와 문장에 확률뿐만 아니라 명시적인 신뢰도 순위를 추가한다. 연역과 귀납의 규칙은 이 불확실성을 포함하여, 논리에 대한 순수 베이즈적 접근법(마르코프 논리 포함)의 어려움을 우회하는 동시에 뎀프스터-셰이퍼 이론의 역설도 피한다. PLN의 구현은 이러한 확장을 전제로 논리 프로그래밍의 알고리즘을 사용하고 일반화하려고 시도한다.
확률적 논증 분야에서는 다양한 형식적 프레임워크가 제시되었다. 예를 들어 "확률적 라벨링"[^15] 프레임워크는 표본 공간이 논증 그래프의 라벨링 집합인 확률 공간을 지칭한다. "확률적 논증 시스템"[^8][^9] 프레임워크에서는 확률이 논증이나 논리 문장에 직접 부여되지 않는다. 대신 문장에 포함된 변수 V의 특정 부분집합 W가 대응하는 부분 σ-대수 위에 확률 공간을 정의한다고 가정한다. 이는 V에 대해 두 개의 서로 다른 확률 측도를 유도하며, 이를 각각 지지도와 가능도라 한다. 지지도는 비가법적인 증명 가능성의 확률로 간주될 수 있으며, 이는 일반적인 논리적 함의(V={}인 경우)와 고전적 사후 확률(V=W인 경우)의 개념을 일반화한다. 수학적으로 이 관점은 뎀프스터-셰이퍼 이론과 양립한다.
증거적 추론[^10] 이론 또한 논리적 함의(증명 가능성)와 확률 모두에 대한 일반적 개념으로서 비가법적인 확률의 확률(또는 인식론적 확률)을 정의한다. 그 핵심 아이디어는 합리적 행위자가 세계에 대해 가지고 있는 지식 상태를 나타내는 인식론적 연산자 K를 고려함으로써 표준 명제 논리를 확장하는 것이다. 그런 다음 모든 명제 문장 p에 대한 결과적인 인식론적 우주 Kp 위에 확률이 정의되며, 이것이 분석가에게 이용 가능한 최선의 정보라고 주장된다. 이 관점에서 뎀프스터-셰이퍼 이론은 확률적 추론의 일반화된 형태로 나타난다.

같이 보기

통계적 관계 학습
베이즈 추론, 베이즈 네트워크, 베이즈 확률
콕스의 정리
프레셰 부등식
부정확 확률
비단조 논리
가능성 이론
확률적 데이터베이스
확률적 소프트 논리
확률적 인과
불확실 추론
상한 및 하한 확률

더 읽을거리

Adams, E. W., 1998. 확률 논리 입문. CSLI Publications (Univ. of Chicago Press).
Bacchus, F., 1990. "확률적 지식의 표현과 추론: 확률에 대한 논리적 접근". The MIT Press.
Carnap, R., 1950. 확률의 논리적 기초. University of Chicago Press.
Chuaqui, R., 1991. 진리, 가능성, 그리고 확률: 확률과 통계적 추론의 새로운 논리적 기초. Number 166 in Mathematics Studies. North-Holland.
Haenni, H., Romeyn, JW, Wheeler, G., and Williamson, J. 2011. 확률 논리와 확률 네트워크, Springer.
Hájek, A., 2001, "확률, 논리, 그리고 확률 논리," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
Jaynes, E., 1998, "확률 이론: 과학의 논리", pdf and Cambridge University Press 2003.
Kyburg, H. E., 1970. 확률과 귀납 논리 Macmillan.
Kyburg, H. E., 1974. 통계적 추론의 논리적 기초, Dordrecht: Reidel.
Kyburg, H. E. & C. M. Teng, 2001. 불확실 추론, Cambridge: Cambridge University Press.
Romeiyn, J. W., 2005. 베이즈 귀납 논리. PhD thesis, Faculty of Philosophy, University of Groningen, Netherlands. http://www.philos.rug.nl/~romeyn/paper/2005_romeijn_-_thesis.pdf
Williamson, J., 2002, "확률 논리," in D. Gabbay, R. Johnson, H. J. Ohlbach, and J. Woods, eds., 논증과 추론의 논리 편람: 실용으로의 전환. Elsevier: 397–424.

외부 링크

논리

참고 문헌

[^1]: James Franklin, ''The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal'', 2001 The Johns Hopkins Press, isbn 0-8018-7109-3 .

[^2]: ==현대의 제안들== 아래는 고전 논리학 및 [[술어 논리|predicate logic]]에 대한 확률적·증거적 확장 제안 목록이다.

"''확률 논리''"라는 용어는 [[존 폰 노이만|John von

[^3]: A. Jøsang. ''[https://books.google.com/books?id=nqRlDQAAQBAJ 주관적 논리: 불확실성 하에서의 추론을 위한 형식 체계]''. Springer Verlag, 2016

[^4]: cite journal doi=10.1016/j.ijar.2004.03.003 title=신념의 곱셈과 쌍대곱셈 date=2005 last1=Jøsang first1=Audun last2=McAnally first2=David journal=International J

[^5]: Jøsang, A.. 주관적 논리를 이용한 조건부 추론. (2008)

[^6]: Josang, Audun. 2016 IEEE 지능형 시스템을 위한 다중 센서 융합 및 통합 국제 학술대회 (MFI). (2016)

[^7]: cite journal doi=10.1016/0004-3702(94)90102-3 title=확률 논리에서의 추론 date=1994 last1=Gerla first1=Giangiacomo journal=Artificial Intelligence volume=70 issue=1–2 pages

[^8]: Kohlas, J., and Monney, P.A., 1995. ''[https://books.google.com/books?id=dqnwCAAAQBAJ 힌트의 수학적 이론: 뎀프스터-셰이퍼 증거 이론에 대한 접근]''. Vol. 425 in Lecture Note

[^9]: 보관된 사본

[^10]: cite journal doi=10.1016/0888-613X(92)90033-V doi-access=free title=증거적 추론의 이해 date=1992 last1=Ruspini first1=Enrique H. last2=Lowrance first2=John D. last3=St

[^11]: Gaifman, Haim. 1차 논리 체계에서의 측도에 관하여. (1964)

[^12]: Gaifman, Haim. 풍부한 언어에 대한 확률, 검정 및 무작위성. (1982)

[^13]: Hutter, Marcus. 표현력이 풍부한 논리에서의 문장에 대한 확률. (2013)

[^14]: cite arXiv eprint=1609.03543 last1=Garrabrant first1=Scott last2=Benson-Tilsen first2=Tsvi last3=Critch first3=Andrew last4=Soares first4=Nate last5=Taylor first5=Jessica title

[^15]: cite journal doi=10.1007/s10472-018-9574-1 title=확률적 논증을 위한 레이블링 프레임워크 date=2018 last1=Riveret first1=Régis last2=Baroni first2=Pietro last3=Gao first