진동

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, 자동차 또는 기계 공학.]]

역학에서 진동()은 평형점을 중심으로 한 진동 운동이다. 진동은 진동을 정확하게 특성화할 수 있는 경우 결정론적일 수 있고(예: 진자의 주기 운동), 진동을 통계적으로만 분석할 수 있는 경우 무작위적일 수 있다(예: 자갈길 위 타이어의 움직임).

진동은 바람직할 수 있다: 예를 들어, 소리굽쇠의 운동, 목관 악기나 하모니카의 리드, 휴대전화, 또는 스피커의 콘 등이 그러하다. 그러나 많은 경우 진동은 바람직하지 않으며, 에너지를 낭비하고 원치 않는 소음을 만들어낸다. 예를 들어, 엔진, 전동기, 또는 작동 중인 기계 장치의 진동 운동은 일반적으로 원치 않는 것이다. 이러한 진동은 회전 부품의 불균형, 고르지 않은 마찰, 또는 기어 이의 맞물림으로 인해 발생할 수 있다. 신중한 설계는 대개 원치 않는 진동을 최소화한다.

소리와 진동에 대한 연구는 밀접하게 관련되어 있다(둘 다 음향학에 속한다). 소리, 즉 압력파는 진동하는 구조물(예: 성대)에 의해 생성되며, 이러한 압력파는 또한 구조물(예: 고막)의 진동을 유발할 수 있다. 따라서 소음을 줄이려는 시도는 종종 진동 문제와 관련된다.[^1]

가공 진동은 절삭 가공 과정에서 흔히 발생한다.

종류

자유 진동 또는 고유 진동은 기계 시스템이 초기 입력으로 운동 상태에 놓인 후 자유롭게 진동하도록 허용될 때 발생한다. 이러한 유형의 진동 예로는 아이를 그네에서 뒤로 당겼다가 놓아주거나, 소리굽쇠를 치고 울리게 하는 것이 있다. 기계 시스템은 하나 이상의 고유 진동수로 진동하며 점차 감쇠되어 정지한다.

강제 진동은 시간에 따라 변하는 교란(하중, 변위, 속도 또는 가속도)이 기계 시스템에 가해질 때 발생한다. 교란은 주기적이고 정상 상태의 입력, 과도 입력, 또는 무작위 입력일 수 있다. 주기적 입력은 조화 또는 비조화 교란일 수 있다. 이러한 유형의 진동 예로는 불균형으로 인해 흔들리는 세탁기, 엔진이나 울퉁불퉁한 도로로 인한 수송 진동, 또는 지진 중 건물의 진동이 있다. 선형 시스템의 경우, 주기적이고 조화적인 입력의 적용으로 발생하는 정상 상태 진동 응답의 주파수는 가해진 힘 또는 운동의 주파수와 같으며, 응답 크기는 실제 기계 시스템에 따라 달라진다.

감쇠 진동: 진동 시스템의 에너지가 마찰 및 기타 저항에 의해 점차 소산될 때, 그 진동을 감쇠 진동이라 한다. 진동은 점차 줄어들거나 주파수 또는 강도가 변하거나 멈추게 되며, 시스템은 평형 위치에 정지한다. 이러한 유형의 진동의 예로는 충격 흡수기에 의해 감쇠되는 차량 현가장치가 있다.

방진

시험

진동 시험은 구조물에 가진 함수를 도입하여 수행되며, 일반적으로 특정 유형의 가진기(셰이커)를 사용한다. 또는 DUT(시험 대상 장치)를 가진기의 "테이블"에 부착한다. 진동 시험은 정의된 진동 환경에 대한 시험 대상 장치(DUT)의 응답을 조사하기 위해 수행된다. 측정되는 응답에는 진동 환경에서의 기능 수행 능력, 피로 수명, 공진 주파수, 또는 삐걱거림 및 덜거덕거림 소음 출력(NVH) 등이 포함될 수 있다. 삐걱거림 및 덜거덕거림 시험은 작동 중 매우 낮은 소음 수준을 생성하는 특수한 유형의 저소음 가진기를 사용하여 수행된다.

비교적 저주파 가진(일반적으로 100 Hz 미만)에는 서보유압식(전기유압식) 가진기가 사용된다. 고주파(일반적으로 5 Hz에서 2000 Hz)에는 전기역학적 가진기가 사용된다. 일반적으로 진동 고정구의 DUT 측에 위치한 하나 이상의 "입력" 또는 "제어" 지점이 지정된 가속도로 유지된다.[^1] 다른 "응답" 지점은 제어 지점보다 더 높은 진동 수준(공진) 또는 더 낮은 진동 수준(반공진 또는 감쇠)을 경험할 수 있다. 시스템이 지나치게 소음이 커지는 것을 방지하거나, 특정 진동 주파수로 인한 진동 모드에 의해 특정 부품에 가해지는 변형을 줄이기 위해 반공진을 달성하는 것이 바람직한 경우가 많다.[^4]

진동 시험 연구소에서 수행하는 가장 일반적인 유형의 진동 시험 서비스는 정현파 시험과 랜덤 시험이다. 정현파(한 번에 하나의 주파수) 시험은 시험 대상 장치(DUT)의 구조적 응답을 조사하기 위해 수행된다. 진동 시험의 초기 역사에서 진동 기계 제어기는 정현파 운동 제어만 가능했기 때문에 정현파 시험만 수행되었다. 이후 더 정교한 아날로그 제어기와 디지털 제어기가 랜덤 제어(모든 주파수를 동시에)를 제공할 수 있게 되었다. 랜덤(모든 주파수를 동시에) 시험은 일반적으로 주행 중인 자동차에 대한 도로 입력과 같은 실제 환경을 더 가깝게 재현하는 것으로 간주된다.

대부분의 진동 시험은 한 번에 '단일 DUT 축'으로 수행되지만, 대부분의 실제 진동은 여러 축에서 동시에 발생한다. 2008년 말에 발표된 MIL-STD-810G의 시험 방법 527은 다중 가진기 시험을 요구한다. DUT를 가진기 테이블에 부착하는 데 사용되는 *진동 시험 고정구[^2]*는 진동 시험 스펙트럼의 주파수 범위에 맞게 설계되어야 한다. 실제 사용 시 장착의 동적 응답(기계적 임피던스)을 복제하는 진동 시험 고정구를 설계하는 것은 어렵다. 이러한 이유로, 진동 시험 간의 재현성을 보장하기 위해 진동 고정구는 시험 주파수 범위 내에서 공진이 없도록 설계된다. 일반적으로 더 작은 고정구와 더 낮은 주파수 범위의 경우, 설계자는 시험 주파수 범위에서 공진이 없는 고정구 설계를 목표로 할 수 있다. DUT가 커지고 시험 주파수가 높아질수록 이는 더 어려워진다. 이러한 경우 다중 지점 제어 전략을 통해 존재할 수 있는 일부 공진을 완화할 수 있다.

일부 진동 시험 방법은 진동 시험 고정구가 나타내는 크로스토크(시험 축에 대해 상호 수직 방향으로의 응답 지점 이동) 허용량을 제한한다. 진동을 추적하거나 기록하기 위해 특별히 설계된 장치를 진동 기록계(바이브로스코프)라고 한다.

분석

진동 분석(VA)은 산업 또는 유지보수 환경에서 적용되며, 장비 결함을 감지하여 유지보수 비용과 장비 가동 중단 시간을 줄이는 것을 목표로 한다.[^5][^6] VA는 상태 모니터링(CM) 프로그램의 핵심 구성 요소이며, 흔히 예측 유지보수(PdM)라고도 불린다.[^7] VA는 가장 일반적으로 회전 장비(팬, 모터, 펌프, 기어박스 등)의 불균형, 정렬 불량, 구름 요소 베어링 결함 및 공진 상태와 같은 결함을 감지하는 데 사용된다.[^8]

VA는 변위, 속도 및 가속도의 단위를 시간 파형(TWF)으로 표시하여 사용할 수 있지만, 가장 일반적으로는 TWF의 고속 푸리에 변환에서 유도된 스펙트럼이 사용된다. 진동 스펙트럼은 결함이 있는 부품을 정확히 찾아낼 수 있는 중요한 주파수 정보를 제공한다.

진동 분석의 기초는 단순 질량-스프링-감쇠기 모델을 연구함으로써 이해할 수 있다. 실제로 자동차 차체와 같은 복잡한 구조도 단순 질량-스프링-감쇠기 모델의 "합산"으로 모델링할 수 있다. 질량-스프링-감쇠기 모델은 단순 조화 진동자의 한 예이다. 이 거동을 설명하는 데 사용되는 수학은 RLC 회로와 같은 다른 단순 조화 진동자와 동일하다.

참고: 이 문서는 단계별 수학적 유도 과정을 포함하지 않으며, 주요 진동 분석 방정식과 개념에 초점을 맞추고 있다. 자세한 유도 과정은 문서 끝의 참고 문헌을 참조하기 바란다.

감쇠 없는 자유 진동

질량-스프링-감쇠기의 조사를 시작하기 위해 감쇠가 무시할 수 있을 정도이며, 질량에 외력이 가해지지 않는다고 가정한다(즉, 자유 진동). 스프링이 질량에 가하는 힘은 스프링이 늘어난 양 "x"에 비례한다(스프링이 질량의 무게로 이미 압축되어 있다고 가정). 비례 상수 k는 스프링의 강성이며, 힘/거리의 단위(예: lbf/in 또는 N/m)를 갖는다. 음의 부호는 힘이 항상 부착된 질량의 운동에 반대 방향임을 나타낸다: F_s=- k x. ! 질량에 의해 생성되는 힘은 뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 질량의 가속도에 비례한다: \Sigma\ F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2}. 질량에 작용하는 힘의 합은 다음과 같은 상미분 방정식을 생성한다: \ m \ddot{x} + k x = 0.

스프링을 거리 A만큼 늘린 후 놓아서 진동이 시작된다고 가정하면, 질량의 운동을 설명하는 위 방정식의 해는 다음과 같다: x(t) = A \cos (2 \pi f_n t). ! 이 해는 진폭 A와 주파수 *fn*을 가진 단순 조화 운동으로 진동한다는 것을 의미한다. 수 *fn*은 비감쇠 고유 진동수라고 불린다. 단순 질량-스프링 시스템에서 *fn*은 다음과 같이 정의된다:

참고: 각진동수 ω(ω=2 π f)는 라디안/초의 단위를 가지며, 방정식을 단순화하기 때문에 방정식에서 자주 사용되지만, 시스템의 주파수를 나타낼 때는 일반적으로 보통 주파수(Hz 또는 동등하게 초당 사이클 단위)로 변환된다. 시스템의 질량과 강성을 알고 있으면, 위의 공식으로 초기 교란에 의해 운동이 시작된 시스템이 진동하는 주파수를 결정할 수 있다. 모든 진동 시스템은 교란을 받으면 진동하는 하나 이상의 고유 진동수를 가지고 있다. 이 간단한 관계를 사용하면 더 복잡한 시스템에 질량이나 강성을 추가했을 때 일반적으로 어떤 일이 일어나는지 이해할 수 있다. 예를 들어, 위의 공식은 자동차나 트럭이 완전히 적재되었을 때 서스펜션이 비적재 상태보다 "부드럽게" 느껴지는 이유를 설명한다—질량이 증가하여 시스템의 고유 진동수가 감소하기 때문이다.

시스템이 진동하는 원인: 에너지 보존의 관점에서

진동 운동은 에너지 보존의 관점에서 이해할 수 있다. 위의 예에서 스프링은 x만큼 늘어났으므로 일정량의 위치 에너지(\tfrac {1}{2} k x^2)가 스프링에 저장된다. 놓으면 스프링은 늘어나지 않은 상태(최소 위치 에너지 상태)로 되돌아가려 하며, 이 과정에서 질량을 가속시킨다. 스프링이 늘어나지 않은 상태에 도달한 지점에서 우리가 늘려서 공급한 모든 위치 에너지는 운동 에너지(\tfrac {1}{2} m v^2)로 변환된다. 그 후 질량은 이제 스프링을 압축하기 시작하면서 감속하며, 이 과정에서 운동 에너지를 다시 위치 에너지로 전달한다. 따라서 스프링의 진동은 운동 에너지와 위치 에너지 사이의 왕복 전달에 해당한다. 이 단순 모델에서 질량은 동일한 크기로 영원히 진동을 계속하지만, 실제 시스템에서는 감쇠가 항상 에너지를 소산시켜 결국 스프링을 정지시킨다.

감쇠가 있는 자유 진동

대시팟이 추가되면, 질량의 속도에 비례하는 힘을 생성하여 감쇠 소스를 모델링한다. 비례 상수 c는 감쇠 계수라 불리며, 힘/속도의 단위(lbf⋅s/in 또는 N⋅s/m)를 갖는다.

F_\text{d} = - c v = - c \dot{x} = - c \frac{dx}{dt}.

질량에 작용하는 힘을 합산하면 다음과 같은 상미분 방정식이 된다:

m \ddot{x} + c \dot{x} + kx = 0.

이 방정식의 해는 감쇠의 양에 따라 달라진다. 감쇠가 충분히 작으면 시스템은 여전히 진동하지만—결국 시간이 지나면서 진동이 멈춘다. 이 경우를 부족 감쇠라 하며, 진동 분석에서 중요하다. 감쇠가 시스템이 더 이상 진동하지 않는 지점까지 증가하면, 시스템은 임계 감쇠 지점에 도달한 것이다. 감쇠가 임계 감쇠를 초과하면, 시스템은 과감쇠 상태이다. 질량-스프링-감쇠기 모델에서 임계 감쇠에 도달하기 위해 감쇠 계수가 도달해야 하는 값은:

c_\text{c} = 2 \sqrt{km}

감쇠비는 시스템의 감쇠 정도를 특성화하는 데 사용된다. 이것은 임계 감쇠에 도달하는 데 필요한 감쇠량 대비 실제 감쇠의 비율이다. 질량-스프링-감쇠기 모델의 감쇠비(\zeta ) 공식은:

\zeta = { c \over 2 \sqrt{km} }.

예를 들어, 금속 구조물(예: 비행기 동체, 엔진 크랭크축)은 0.05 미만의 감쇠 인자를 가지며, 자동차 서스펜션은 0.2–0.3 범위이다. 질량-스프링-감쇠기 모델의 부족 감쇠 시스템에 대한 해는 다음과 같다:

x(t)=X e^{-\zeta \omega_n t} \cos\left( \sqrt{1-\zeta^2} \omega_n t - \phi \right) , \qquad \omega_n = 2\pi f_n.

초기 크기 X와 위상 편이 \phi 의 값은 스프링이 늘어난 양에 의해 결정된다. 이러한 값의 공식은 참고 문헌에서 찾을 수 있다.

감쇠 및 비감쇠 고유 진동수

해에서 주목해야 할 주요 사항은 지수 항과 코사인 함수이다. 지수 항은 시스템이 얼마나 빨리 "감쇠"되는지를 정의한다—감쇠비가 클수록 더 빨리 0으로 감쇠된다. 코사인 함수는 해의 진동 부분이지만, 진동의 주파수는 비감쇠 경우와 다르다.

이 경우의 주파수를 "감쇠 고유 진동수" f_\text{d} 라 하며, 비감쇠 고유 진동수와 다음 공식으로 관련된다:

f_\text{d}= f_n\sqrt{1-\zeta^2}.

감쇠 고유 진동수는 비감쇠 고유 진동수보다 작지만, 많은 실제 경우에 감쇠비가 상대적으로 작아 차이가 무시할 수 있을 정도이다. 따라서 고유 진동수를 나타낼 때 감쇠 및 비감쇠 설명은 종종 생략된다(예: 감쇠비 0.1에서 감쇠 고유 진동수는 비감쇠 고유 진동수보다 단 1% 작다).

옆의 그래프는 0.1과 0.3의 감쇠비가 시간에 따라 시스템의 "울림"이 어떻게 감소하는지에 영향을 미치는 방식을 보여준다. 실제로 자주 수행되는 것은 충격(예: 해머에 의한) 후 자유 진동을 실험적으로 측정한 다음, 진동 속도를 측정하여 시스템의 고유 진동수를 결정하고, 감쇠 속도를 측정하여 감쇠비를 결정하는 것이다. 고유 진동수와 감쇠비는 자유 진동에서만 중요한 것이 아니라, 강제 진동에서 시스템이 어떻게 거동하는지도 특성화한다.

감쇠 및 비감쇠 고유 진동수는 모드 형상을 알 수 없을 때 레일리 몫을 사용하여 추정할 수 있다.

감쇠가 있는 강제 진동

스프링 질량 감쇠기 모델의 거동은 조화력의 추가에 따라 달라진다. 이러한 유형의 힘은 예를 들어 회전 불균형에 의해 생성될 수 있다.

F= F_0 \sin(2 \pi f t). !

질량에 작용하는 힘을 합산하면 다음과 같은 상미분 방정식이 된다:

m \ddot{x} + c\dot{x} + k x = F_0 \sin(2 \pi f t).

이 문제의 정상 상태 해는 다음과 같이 쓸 수 있다:

x(t)= X \sin(2 \pi f t +\phi). !

결과는 질량이 가해진 힘과 같은 주파수 f로 진동하되, 위상 편이 \phi 를 갖는다는 것이다.

진동의 진폭 "X"는 다음 공식으로 정의된다.

X= {F_0 \over k} {1 \over \sqrt{(1-r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}}.

여기서 "r"은 조화력 주파수 대 질량-스프링-감쇠기 모델의 비감쇠 고유 진동수의 비율로 정의된다.

r=\frac{f}{f_n}.

위상 편이 \phi는 다음 공식으로 정의된다.

\phi= \arctan\left (\frac{-2 \zeta r}{1-r^2} \right).

"시스템의 주파수 응답"이라 불리는 이 함수들의 그래프는 강제 진동에서 가장 중요한 특징 중 하나를 보여준다. 약하게 감쇠된 시스템에서 가진 주파수가 고유 진동수에 가까워지면(r \approx 1 ) 진동의 진폭이 극도로 높아질 수 있다. 이 현상을 공진이라 한다(따라서 시스템의 고유 진동수는 종종 공진 주파수라 불린다). 로터 베어링 시스템에서 공진 주파수를 여기시키는 모든 회전 속도를 임계 속도라 한다.

기계 시스템에서 공진이 발생하면 매우 해로울 수 있으며—결국 시스템의 파괴로 이어질 수 있다. 따라서 진동 분석의 주요 이유 중 하나는 이러한 유형의 공진이 언제 발생할 수 있는지 예측한 다음, 발생을 방지하기 위해 어떤 조치를 취해야 하는지 결정하는 것이다. 진폭 그래프에서 보여주듯이, 감쇠를 추가하면 진동의 크기를 크게 줄일 수 있다. 또한 시스템의 강성이나 질량을 변경하여 고유 진동수를 가진 주파수에서 멀리 이동시키면 크기를 줄일 수 있다. 시스템을 변경할 수 없다면, 아마도 가진 주파수를 이동시킬 수 있다(예: 힘을 생성하는 기계의 속도를 변경).

다음은 주파수 응답 그래프에 나타난 강제 진동에 관한 몇 가지 추가 사항이다.

*주어진 주파수비에서 진동의 진폭 X는 힘 F_0 의 진폭에 정비례한다(예: 힘을 두 배로 하면 진동도 두 배가 된다) *감쇠가 거의 또는 전혀 없을 때, 주파수비 r < 1에서 진동은 가진 주파수와 동위상이며, 주파수비 r > 1에서 180도 역위상이다 *r ≪ 1일 때 진폭은 정적 힘 F_0 하에서의 스프링 변형과 같다. 이 변형을 정적 변형 \delta_{st}라 한다. 따라서 r ≪ 1일 때 감쇠기와 질량의 영향은 최소이다. *r ≫ 1일 때 진동의 진폭은 실제로 정적 변형 \delta_{st}보다 작다. 이 영역에서는 질량에 의해 생성되는 힘(F = ma)이 지배적인데, 질량에 작용하는 가속도가 주파수에 따라 증가하기 때문이다. 스프링에서 보이는 변형 X가 이 영역에서 감소하므로, 스프링에 의해 기초에 전달되는 힘(F = kx)이 감소한다. 따라서 질량-스프링-감쇠기 시스템은 조화력을 장착 기초로부터 격리하며—이를 진동 격리라 한다. r ≫ 1일 때 감쇠를 더하면 실제로 진동 격리 효과가 감소하는데, 감쇠력(F = cv)도 기초에 전달되기 때문이다.

• 감쇠가 어떻든 간에, 주파수비 r = 1일 때 진동은 가진 주파수와 90도 위상차를 가지며, 이는 시스템의 고유 진동수를 결정하는 데 매우 유용하다.
• 감쇠가 어떻든 간에, r ≫ 1일 때 진동은 가진 주파수와 180도 역위상이다
• 감쇠가 어떻든 간에, r ≪ 1일 때 진동은 가진 주파수와 동위상이다

공진의 원인

스프링과 질량을 에너지 저장 요소로 보면 공진을 쉽게 이해할 수 있다—질량은 운동 에너지를, 스프링은 위치 에너지를 저장한다. 앞서 논의한 바와 같이, 질량과 스프링에 외력이 작용하지 않으면 고유 진동수와 같은 속도로 에너지를 주고받는다. 다시 말해, 질량과 스프링 모두에 효율적으로 에너지를 펌핑하려면 에너지원이 고유 진동수와 같은 속도로 에너지를 공급해야 한다. 질량과 스프링에 힘을 가하는 것은 그네를 타는 아이를 미는 것과 비슷하며, 그네가 점점 높아지게 하려면 정확한 시점에 밀어야 한다. 그네의 경우와 마찬가지로, 큰 운동을 얻기 위해 가해지는 힘이 클 필요는 없으며, 단지 시스템에 에너지를 추가하기만 하면 된다.

감쇠기는 에너지를 저장하는 대신 에너지를 소산시킨다. 감쇠력은 속도에 비례하므로, 운동이 클수록 감쇠기가 더 많은 에너지를 소산시킨다. 따라서 감쇠기가 소산시키는 에너지가 힘에 의해 추가되는 에너지와 같아지는 지점이 있다. 이 지점에서 시스템은 최대 진폭에 도달했으며, 가해진 힘이 같은 한 이 수준으로 계속 진동한다. 감쇠가 없으면 에너지를 소산시킬 것이 없으므로, 이론적으로 운동은 무한히 계속 증가한다.

질량-스프링-감쇠기 모델에 "복잡한" 힘 적용

앞 절에서는 단순 조화력만 모델에 적용되었지만, 두 가지 강력한 수학적 도구를 사용하여 상당히 확장할 수 있다. 첫 번째는 시간의 함수로서의 신호(시간 영역)를 주파수의 함수로서의 조화 성분(주파수 영역)으로 분해하는 푸리에 변환이다. 예를 들어, 질량-스프링-감쇠기 모델에 다음 주기를 반복하는 힘을 가한다—0.5초 동안 1뉴턴의 힘을 가한 다음 0.5초 동안 힘을 가하지 않는다. 이러한 유형의 힘은 1Hz 구형파의 형태를 갖는다.

구형파의 푸리에 변환은 구형파를 구성하는 고조파의 크기를 나타내는 주파수 스펙트럼을 생성한다(위상도 생성되지만, 일반적으로 관심이 적어 종종 도시되지 않는다). 푸리에 변환은 과도 현상(예: 임펄스) 및 랜덤 함수와 같은 비주기 함수를 분석하는 데에도 사용할 수 있다. 푸리에 변환은 거의 항상 윈도우 함수와 결합된 고속 푸리에 변환(FFT) 컴퓨터 알고리즘을 사용하여 계산된다.

구형파 힘의 경우, 첫 번째 성분은 실제로 0.5뉴턴의 일정한 힘이며 주파수 스펙트럼에서 0Hz의 값으로 표현된다. 다음 성분은 진폭 0.64의 1Hz 사인파이다. 이는 1Hz에서의 선으로 표시된다. 나머지 성분은 홀수 주파수에 있으며, 완벽한 구형파를 생성하려면 무한한 수의 사인파가 필요하다. 따라서 푸리에 변환을 사용하면 더 "복잡한" 힘(예: 구형파) 대신 정현파 힘의 합으로 힘을 해석할 수 있다.

앞 절에서는 단일 조화력에 대한 진동 해가 주어졌지만, 일반적으로 푸리에 변환은 여러 조화력을 제공한다. 두 번째 수학적 도구인 중첩 원리는 시스템이 선형일 경우 여러 힘으로부터의 해의 합산을 가능하게 한다. 스프링-질량-감쇠기 모델의 경우, 관심 운동 범위에서 스프링 힘이 변위에 비례하고 감쇠가 속도에 비례하면 시스템은 선형이다. 따라서 구형파 문제의 해는 구형파의 주파수 스펙트럼에서 발견된 각 조화력으로부터의 예측 진동을 합산하는 것이다.

주파수 응답 모델

진동 문제의 해는 입력/출력 관계로 볼 수 있으며—힘이 입력이고 출력은 진동이다. 힘과 진동을 주파수 영역(크기와 위상)에서 표현하면 다음과 같은 관계가 성립한다:

X(i\omega)=H(i\omega)\cdot F(i\omega) \text{ or } H(i\omega)= {X(i\omega) \over F(i\omega)}.

H(i\omega)는 주파수 응답 함수(전달 함수라고도 하지만, 기술적으로 정확하지는 않음)라 불리며, 크기와 위상 성분(복소수로 표현하면 실수 및 허수 성분)을 모두 갖는다. 주파수 응답 함수(FRF)의 크기는 앞서 질량-스프링-감쇠기 시스템에 대해 제시되었다.

|H(i\omega)|=\left |{X(i\omega) \over F(i\omega)} \right|= {1 \over k} {1 \over \sqrt{(1-r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}}, \text{ where } r=\frac{f}{f_n}=\frac{\omega}{\omega_n}.

FRF의 위상도 앞서 다음과 같이 제시되었다:

\angle H(i\omega)= -\arctan\left (\frac{2 \zeta r}{1-r^2} \right).

예를 들어, 질량 1kg, 스프링 강성 1.93N/mm, 감쇠비 0.1인 질량-스프링-감쇠기 시스템의 FRF를 계산한다. 스프링과 질량의 값은 이 특정 시스템에 대해 7Hz의 고유 진동수를 준다. 앞서의 1Hz 구형파를 적용하면 질량의 예측 진동을 계산할 수 있다. 그림은 결과 진동을 보여준다. 이 예에서 구형파의 4차 고조파가 7Hz에 해당한다. 따라서 질량-스프링-감쇠기의 주파수 응답은 입력 힘의 7Hz 고조파가 상대적으로 작음에도 불구하고 높은 7Hz 진동을 출력한다. 이 예는 결과 진동이 가진 함수와 힘이 가해지는 시스템 모두에 의존한다는 것을 보여준다.

그림은 또한 결과 진동의 시간 영역 표현을 보여준다. 이것은 주파수 영역 데이터를 시간 영역으로 변환하는 역 푸리에 변환을 수행하여 이루어진다. 실제로 이것은 주파수 스펙트럼이 필요한 모든 정보를 제공하기 때문에 거의 수행되지 않는다.

주파수 응답 함수(FRF)는 반드시 시스템의 질량, 감쇠 및 강성에 대한 지식으로부터 계산할 필요가 없으며—실험적으로 측정할 수 있다. 예를 들어, 다양한 주파수에 걸쳐 알려진 힘이 가해지고, 관련 진동이 측정되면, 주파수 응답 함수를 계산하여 시스템을 특성화할 수 있다. 이 기법은 구조물의 진동 특성을 결정하기 위한 실험적 모드 분석 분야에서 사용된다.

다자유도 시스템 및 모드 형상

단순 질량-스프링-감쇠기 모델은 진동 분석의 기초이다. 위에서 설명한 모델은 질량이 위아래로만 움직인다고 가정하므로 단일 자유도(SDOF) 모델이라 불린다. 더 복잡한 시스템에서는 시스템을 둘 이상의 방향으로 움직이는 더 많은 질량으로 이산화해야 하며, 자유도가 추가된다. 다자유도(MDOF)의 주요 개념은 그림에 표시된 2자유도 모델만 살펴봄으로써 이해할 수 있다.

2자유도 시스템의 운동 방정식은 다음과 같다:

이것은 행렬 형식으로 다시 쓸 수 있다:

이 행렬 방정식의 더 간결한 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다:

여기서 \begin{bmatrix}M\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}C\end{bmatrix}, 및 \begin{bmatrix}K\end{bmatrix}는 각각 질량, 감쇠, 강성 행렬이라 불리는 대칭 행렬이다. 이 행렬은 N×N 정방 행렬이며, 여기서 N은 시스템의 자유도 수이다.

다음 분석은 감쇠가 없고 외력이 가해지지 않는 경우(즉, 자유 진동)를 포함한다. 점성 감쇠 시스템의 해는 다소 더 복잡하다.[^3]

\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{x}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} x\end{Bmatrix}=0.

이 미분 방정식은 다음 유형의 해를 가정하여 풀 수 있다:

참고: 지수 해 \begin{Bmatrix} X\end{Bmatrix}e^{i\omega t}를 사용하는 것은 선형 미분 방정식을 풀기 위해 사용되는 수학적 기법이다. 오일러 공식을 사용하고 해의 실수 부분만 취하면 1자유도 시스템과 동일한 코사인 해가 된다. 지수 해는 수학적으로 다루기가 더 쉽기 때문에만 사용된다.

그러면 방정식은 다음과 같이 된다:

\begin{bmatrix}-\omega^2 \begin{bmatrix} M \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} K \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}e^{i\omega t}=0.

e^{i\omega t}는 0이 될 수 없으므로 방정식은 다음으로 축소된다.

\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}-\omega^2 \begin{bmatrix} M \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X \end{Bmatrix}=0.

고유값 문제

이것은 수학에서 고유값 문제라 불리며, 방정식에 \begin{bmatrix}M\end{bmatrix}^{-1}을 왼쪽에서 곱하여 표준 형식으로 만들 수 있다

\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}-\omega^2 \begin{bmatrix} M \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}=0

그리고 만약: \begin{bmatrix}M\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\end{bmatrix} 이고 \lambda=\omega^2 ,이면

\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}=0.

문제의 해는 N개의 고유값(즉, \omega_1^2,\omega_2^2,\cdots\omega_N^2)을 제공하며, 여기서 N은 시스템의 자유도 수에 해당한다. 고유값은 시스템의 고유 진동수를 제공한다. 이러한 고유값을 원래 방정식 세트에 다시 대입하면, 각 고유값에 해당하는 \begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}의 값을 고유벡터라 한다. 이 고유벡터는 시스템의 모드 형상을 나타낸다. 고유값 문제의 해는 상당히 번거로울 수 있지만(특히 많은 자유도를 가진 문제의 경우), 다행히 대부분의 수학 분석 프로그램에는 고유값 루틴이 있다.

고유값과 고유벡터는 종종 다음과 같은 행렬 형식으로 작성되며, 시스템의 모드 모델을 기술한다:

\begin{bmatrix}^\diagdown \omega_{r\diagdown}^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \omega_1^2 & \cdots & 0 \ \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & \cdots & \omega_N^2 \end{bmatrix} \text{ and } \begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_1 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_2 \end{Bmatrix} \cdots \begin{Bmatrix} \psi_N \end{Bmatrix} \end{bmatrix}.

2자유도 모델을 사용한 간단한 예를 통해 개념을 설명할 수 있다. 두 질량 모두 1kg이고 세 스프링 모두의 강성이 1000 N/m이라 하자. 이 문제의 질량 및 강성 행렬은 다음과 같다:

\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\ 0 & 1\end{bmatrix} 그리고 \begin{bmatrix}K\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2000 & -1000\ -1000 & 2000\end{bmatrix}.

그러면 \begin{bmatrix}A\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2000 & -1000\ -1000 & 2000\end{bmatrix}.

고유값 루틴에 의해 주어지는 이 문제의 고유값은:

\begin{bmatrix} ^\diagdown \omega_{r\diagdown}^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1000 & 0 \ 0 & 3000 \end{bmatrix}.

헤르츠 단위의 고유 진동수는 (\scriptstyle \omega=2 \pi f를 기억하면) \scriptstyle f_1=5.033 \mathrm {\ Hz} 및 \scriptstyle f_2=8.717 \text{ Hz}이다.

각 고유 진동수에 대한 두 모드 형상은 다음과 같다:

\begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_1 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \psi_2 \end{Bmatrix} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \begin{Bmatrix} -0.707 \ -0.707 \end{Bmatrix}_1 \begin{Bmatrix} 0.707 \ -0.707 \end{Bmatrix}_2 \end{bmatrix}.

시스템이 2자유도 시스템이므로, 각각의 고유 진동수와 형상을 가진 두 개의 모드가 있다. 모드 형상 벡터는 절대 운동이 아니라 자유도의 상대 운동만을 기술한다. 우리의 경우 첫 번째 모드 형상 벡터는 동일한 값과 부호를 가지므로 질량들이 동위상으로 함께 움직이고 있음을 말해준다. 두 번째 모드 형상 벡터의 경우, 각 질량은 같은 속도로 반대 방향으로 움직인다.

다자유도 문제의 시각화

많은 자유도가 있을 때, 모드 형상을 시각화하는 한 가지 방법은 Femap, ANSYS 또는 ESI Group의 VA One과 같은 구조 분석 소프트웨어를 사용하여 애니메이션화하는 것이다. 모드 형상을 애니메이션화하는 예가 아래 그림에 ANSYS에서 모드 분석을 사용한 캔틸레버 I-빔에 대해 나타나 있다. 이 경우 유한 요소법을 사용하여 이산 고유값 문제를 풀기 위해 관심 대상을 메싱하여 질량 및 강성 행렬의 근사값을 생성하였다. 이 경우 유한 요소법은 메싱된 표면의 근사값을 제공하며(이에 대해 무한한 수의 진동 모드와 주파수가 존재함), 따라서 100개 이상의 자유도를 가지고 그만큼의 고유 진동수와 모드 형상을 갖는 이 비교적 단순한 모델은 첫 번째 고유 진동수와 모드에 대한 좋은 근사값을 제공한다. 일반적으로 실제 응용에서는 처음 몇 개의 모드만이 중요하다.

{| width="1000" class="wikitable" style="margin:1em auto;" | colspan=3|이 표에서 I-빔의 첫 번째 및 두 번째(각각 위와 아래) 수평 굽힘(왼쪽), 비틀림(가운데), 수직 굽힘(오른쪽) 진동 모드가 시각화되어 있다. 빔이 높이, 너비 및 길이 방향으로 압축/인장되는 다른 종류의 진동 모드도 존재한다. |- ! colspan=3|캔틸레버 I-빔의 모드 형상 |- |align="center"|

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|- |align="center"|

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|}

참고: 수학적 모델의 수치 근사를 수행할 때, 관심 매개변수의 수렴성을 확인해야 한다.

다자유도 문제를 단일 자유도 문제로 변환

고유벡터는 직교성이라 불리는 매우 중요한 특성을 가진다. 이러한 특성은 다자유도 모델의 해를 크게 단순화하는 데 사용할 수 있다. 고유벡터가 다음과 같은 특성을 가지는 것을 보일 수 있다:

\begin{bmatrix}\Psi\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Psi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ^\diagdown m_{r\diagdown} \end{bmatrix},

\begin{bmatrix}\Psi\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Psi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ^\diagdown k_{r\diagdown} \end{bmatrix}.

\begin{bmatrix} ^\diagdown m_{r\diagdown} \end{bmatrix}과 \begin{bmatrix} ^\diagdown k_{r\diagdown} \end{bmatrix}는 각 모드의 모드 질량 및 강성 값을 포함하는 대각 행렬이다. (참고: 고유벡터(모드 형상)는 임의로 크기를 조절할 수 있으므로, 직교성 특성은 종종 각 모드의 모드 질량 값이 1이 되도록 고유벡터의 크기를 조절하는 데 사용된다. 따라서 모드 질량 행렬은 단위 행렬이 된다)

이러한 특성은 다음과 같은 좌표 변환을 통해 다자유도 모델의 해를 크게 단순화하는 데 사용할 수 있다.

\begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q \end{Bmatrix}.

원래의 자유 진동 미분 방정식에서 이 좌표 변환을 사용하면 다음 방정식이 된다.

\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{q} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} K \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q\end{Bmatrix}=0.

이 방정식에 \begin{bmatrix}\Psi\end{bmatrix}^{T}를 왼쪽에서 곱하여 직교성 특성을 활용하면

\begin{bmatrix}\Psi\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\ddot{q}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}\Psi\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}K\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q\end{Bmatrix}=0.

직교성 특성은 이 방정식을 다음과 같이 단순화한다:

\begin{bmatrix} ^\diagdown m_{r\diagdown} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\ddot{q}\end{Bmatrix}+\begin{bmatrix}^\diagdown k_{r\diagdown}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q\end{Bmatrix}=0.

이 방정식은 다자유도 시스템에 대한 진동 분석의 기초이다. 감쇠 시스템에 대해서도 유사한 유형의 결과를 유도할 수 있다.[^3] 핵심은 모드 질량 및 강성 행렬이 대각 행렬이므로 방정식이 "비연성화"되었다는 것이다. 다시 말해, 문제가 크고 다루기 어려운 다자유도 문제에서 위에서 설명한 동일한 방법을 사용하여 풀 수 있는 많은 단일 자유도 문제로 변환되었다.

x를 푸는 것은 모드 좌표 또는 모드 참여 계수라 불리는 q를 푸는 것으로 대체된다.

\begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix} \Psi \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q \end{Bmatrix} 를 다음과 같이 쓰면 더 명확하게 이해할 수 있다:

\begin{Bmatrix} x_n \end{Bmatrix}= q_1\begin{Bmatrix} \psi \end{Bmatrix}_1 +q_2\begin{Bmatrix} \psi \end{Bmatrix}_2 +q_3\begin{Bmatrix} \psi \end{Bmatrix}_3 +\cdots + q_N\begin{Bmatrix} \psi \end{Bmatrix}_N.

이 형태로 쓰면 각 자유도에서의 진동은 모드 형상의 선형 합임을 알 수 있다. 또한 각 모드가 최종 진동에 얼마나 "참여"하는지는 모드 참여 계수인 q에 의해 정의된다.

강체 모드

구속되지 않은 다자유도 시스템은 강체 병진 및/또는 회전과 진동을 모두 경험한다. 강체 모드의 존재는 0의 고유 진동수를 초래한다. 해당 모드 형상을 강체 모드라 한다.

같이 보기

*음향 공학 *방진 화합물 *밸런싱 머신 *기초 격리 *완충 *임계 속도 *감쇠비 *던컬리 방법 *지진 공학 *탄성 진자 *고속 푸리에 변환 *기계 공학 *기계적 공명 *모달 해석 *모드 형상 *해양 선박의 소음 및 진동 *소음, 진동 및 불쾌감 *진동 감각 *수동 히브 보상 *진자 *양자 진동 *랜덤 진동 *승차감 *진동 해석에서의 레일리 몫 *셰이커 (시험 장치) *충격 *충격 및 진동 데이터 로거 *단순 조화 진동자 *소리 *구조 음향학 *구조 동역학 *타이어 밸런스 *비틀림 진동 *동조 질량 감쇠기 *진동 교정기 *진동 제어 *진동 격리 *파동 *전신 진동

더 읽을거리

*Tongue, Benson, 진동의 원리, Oxford University Press, 2001, *Inman, Daniel J., 공학 진동, Prentice Hall, 2001, *Thompson, W.T., 진동의 이론, Nelson Thornes Ltd, 1996, *Hartog, Den, 기계 진동, Dover Publications, 1985,

• *https://www.cbmconnect.com/when-vibration-from-trains-damages-buildings
• 독일 사회재해보험 산업안전보건연구소: 전신 및 손-팔 진동
• Manarikkal, I., Elsaha, F., Mba, D. and Laila, D. 진동 해석을 이용한 균열 치아를 가진 유성 기어박스의 동적 모델링, (2019) 비정상 운전에서의 기계 상태 모니터링의 발전, p 240–250, Springer, Switzerland; https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-11220-2

외부 링크

*모달 매개변수 추정을 위한 무료 Excel 시트 *진동 해석 참고 자료 – Mobius Institute *상태 모니터링 및 기계 보호 – Siemens AG

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참고 문헌

[^1]: Tustin, Wayne. ''[https://www.evaluationengineering.com/home/article/13003324/where-to-place-the-control-accelerometer 제어 가속도계의 배치 위치: 가장 중요한 결정 중 하나]'', EE-Evaluation Enginee

[^2]: Tony Araujo. ''[https://www.evaluationengineering.com/applications/automotive-test/article/21093894/october-automotive-article 자동차 진동 고정구의 발전]'', EE-Evaluation Enginee

[^3]: Maia, Silva. ''이론적 및 실험적 모달 해석'', Research Studies Press Ltd., 1997, ISBN 0-471-97067-0

[^4]: Cite web title =Polytec InFocus 1/2007 url =https://eletiofe.com/wp-content/uploads/2019/07/OM_InFocus_2007_01_US.pdf access-date =2019-07-24 archive-date =2019-07-24 archive-url =https://we

[^5]: Crawford, Art; 진동 해석 간편 핸드북

[^6]: Eshleman, R 1999, 기초 기계 진동: 기계 시험, 해석 및 모니터링 입문

[^7]: Mobius Institute; 진동 분석가 카테고리 2 – 강의 노트 2013

[^8]: 유지보수에서 진동 해석의 중요성. (2021-01-05)